martes, 5 de junio de 2012

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

                                   FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

Funciones exponenciales
La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma
FUNCIONES LOGARITMICAS

Definición.-Sea a un número real positivo. La aplicación que a cada número real x>0 le asigna loga x (que es único) se denomina función logarítmica en base a.
La función logarítmica es sobreyectiva, es decir para cualquier número real  y0  existe un único x0 > 0  tal que  loga x0=y0.

Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base  b  para obtener  a  y.   Esto es,  si  b > 0  y   b  es  diferente  de  cero,   entonces
Logb y = x  si y sólo si  y = bx.
Nota: El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales.





FUNCIONES TRIGONOMRTRICAS DIRECTAS E INVERSAS

                              FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DIRECTAS E INVERSAS

Las funciones inversas son seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.
La función f(x)=sen x, definida en el intervalo cerrado [- /2, /2], es continua, estrictamente creciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. Esta función es pues un homeomorfismo del primer intervalo sobre el segundo y su función inversa que denotaremos por
                                           F -1(x)=arc sen x
Estará definida de [-1, 1] siendo también continua y estrictamente creciente.

  Funciones trigonométricas directas. Función seno, función coseno y función tangente. Definiciones, representaciones y propiedades.
  Funciones trigonométricas inversas. Función cosecante, función secante y función cotangente. Definiciones, representaciones y propiedades.
Definición: Una ecuación trigonométrica es una igualdad entre ecuaciones trigonométricas de una misma variable angular o variables angulares diferentes, la cual se verifica para un conjunto de valores que asumen dichas variables angulares, que constituyen el conjunto solución de la ecuación trigonométrica. Para que una igualdad sea una ecuación trigonométrica, las variables angulares deben estar afectadas por funciones trigonométricas (directas o inversas), de lo contrario no son consideradas ecuaciones trigonométricas.




DERIVADAS SUCESIVAS

                                                             DERIVADAS SUCESIVAS


La derivada de una funcion real de variable real es también una función, que se llama derivada ordinaria o primera derivada de la función , f '(x)


la derivada de la derivada de una función es también una función y se llama segunda derivada de la función f "(x).

La derivada de la segunda derivada de una función es también una función que se llama tercera derivada
f '"(x), y así sucesivamente hasta obtener la enésima derivada (n).

A las derivadas obtenidas a partir de la segunda derivada también se le llaman derivadas sucesivas.

Derivadas sucesivas de una función
 
Hasta ahora se sabe que los candidatos a extremos proceden de las soluciones de la ecuación f'(x) = 0. Falta por determinar cuándo una de estas soluciones es un máximo, un mínimo o no es un extremo. Previamente se necesita dominar un nuevo concepto.
 
Definición:
 
Dada una función f(x), se sabe calcular su derivada f'(x) (derivada primera).
 
Si ahora se vuelve a derivar f'(x), se obtiene la derivada segunda y se simboliza por f''(x). Si se vuelve a derivar esta función se tiene la derivada tercera, f'''(x), y así sucesivamente.
 
En general, la derivada de orden n de una función f(x), se llama derivada n-ésima y se simboliza por fn'(x).
 
Ejercicio:
 calcular la derivada tercera de la función f(x) = 6x3 - 7x2 + 5.
 
Resolución:
 
· f'(x) = 18x2 - 14x
 
· f''(x) = 36x - 14
 
· f'''(x) = 36
Derivadas sucesivas de una función la derivada de una función real de variable real es también una función, que se llama derivada ordinaria ó 1ª derivada de la función. La derivada de la derivada de una función es también una función y se llama segunda derivada la derivada de la 2ª derivada de una función es también una función que se llama: tercera derivada, y así sucesivamente hasta obtener la "enésima derivada" +n - enésima.


CONTINUIDAD DE UNA FUNCION

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION

                                                  


Una función es continua cuando la función se encuentra perfectamente definida en los puntos del dominio. También se habla de continuidad cuando la grafica de una función no se interrumpe o no produce saltos de un punto a otro. ...
Una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.



MAXIMOS Y MINIMOS

MAXIMOS Y MINIMOS




Máximos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

1. F'(a) = 0

2. F''(a) < 0

Mínimos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:

1. F'(a) = 0

2. F''(a) > 0

Cálculo de los máximos y mínimos relativos

F(x) = x3 − 3x + 2

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
F'(x) = 3x2 − 3 = 0
X = −1 x = 1.
2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:
F''(x) > 0 Tenemos un mínimo.
F''(x) < 0 Tenemos un máximo.
F''(x) = 6x
F''(−1) = −6 Máximo
F'' (1) = 6 Mínimo
3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
F (−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
F(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo (−1, 4) Mínimo (1, 0)